Sobre la llamada «solución física» de la hipótesis de Riemann de Mussardo y LeClair

Por Francisco R. Villatoro, el 24 noviembre, 2021. Categoría(s): Ciencia • Física • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Physics • Science ✎ 21

La hipótesis de Riemann afirma que los ceros no triviales de la función zeta tienen parte real igual a un medio. Usando ordenadores se ha verificado que los primeros doce billones de ceros no triviales cumplen dicha propiedad. ¿Se puede afirmar que es muy improbable que la hipótesis sea falsa? No, lo siento, incluso si los primeros doce cuatrillones de ceros la cumplen, en ningún caso se aporta información sobre la probabilidad de la hipótesis de Riemann. Muchos medios publican hoy que se ha obtenido «una solución física» a este problema. Dos físicos estadísticos (Mussardo y LeClair) han observado en ciertos experimentos computacionales que el comportamiento asintótico de la función de Mertens corresponde a lo esperado si la hipótesis de Riemann es cierta. ¿Lo han demostrado? No; por tanto, igual con los primeros ceros, su trabajo no aporta ninguna información sobre la probabilidad de que la hipótesis de Riemann sea cierta. Y, por supuesto, ni han logrado una demostración, ni siquiera «una solución física», sea lo que sea que los medios interpreten con estas palabras.

Como ya viene siendo habitual, esta noticia sensacionalista tiene su origen en una nota de prensa de la institución (SISSA) de uno de los autores (Mussardo). En ella [PDF en inglés; traducción al español] podemos leer: «La conjetura de Riemann revelada por la física. […] se puede desentrañar gracias a un enfoque completamente inesperado proveniente de la física estadística. […] El hecho de que la explicación de la conjetura de Riemann provenga de la física…». En ningún momento se afirma que se haya demostrado la conjetura, solo se habla de «revelado», «desentrañado» y «explicado», palabras vacías de contenido para un matemático (y para un físico). En el resumen del artículo científico publicado en el Journal of Statistical Mechanics (una revista del SISSA publicada por IOP) los autores concluyen «en vista al argumento probabilístico teórico y el gran número de pruebas estadísticas [presentadas], podemos concluir que si bien una violación de la hipótesis de Riemann no es imposible, estrictamente hablando, es extremadamente improbable». Como debería ser obvio para todas las personas que leen este blog, el nuevo artículo no aporta ninguna demostración en sus 106 páginas y, además, ninguno de sus autores afirma que lo haga.

Y que nadie se equivoque, no le quito mérito a dar argumentos computacionales y probabilísticos a favor de la conjetura de Riemann. Pero, por desgracia, ni dichos argumentos son una demostración, ni ofrecen ninguna guía hacia una futura demostración. Solo son un bonito trabajo para leer y olvidar en el camino hacia la solución de este Problema del Milenio. Por si te interesa leerlo, el artículo es Giuseppe Mussardo, Andre LeClair, «Randomness of Mobius coefficents and brownian motion: growth of the Mertens function and the Riemann Hypothesis,» Journal of Statistical Mechanics 2021: 113106 (16 Nov 2021), doi: https://doi.org/10.1088/1742-5468/ac22fb, arXiv:2101.10336 [math.NT] (25 Jan 2021).

[PS 29 nov 2021] Ofrece un argumento similar al mío (que no se puede hablar de probabilidad de la veracidad de una conjetura usando matemática experimental), aunque con más retórica,  Luboš Motl, «»Very high probabilities that theorems are true» are fallacious,» The Reference Frame, 28 Nov 2021; también recomiendo su pieza «When experimental mathematics fails», TRF, 03 may 2012. Y ya de paso recomiendo mis piezas «¡Cuidado con el método de inducción «a ojo»!», LCMF, 27 dic 2018, y «La convergencia de la serie de Flint Hills», LCMF, 23 may 2021. [/PS]

No quiero entrar en detalles técnicos, que aburren hasta a un físico, solo presentar esta tabla, que es el gran resultado del artículo. El valor teórico es el esperado si la hipótesis de Riemann es cierta y el valor experimental en los experimentos realizados para acotar el comportamiento asintótico de la función de Mertens. Según los autores del artículo (a pesar de que el error alcanza hasta dos milésimas y de que solo se exploran los diez primeros momentos de la distribución de probabilidad) esta tabla es una prueba firme de que es «extremadamente improbable» de que la hipótesis de Riemann sea falsa. Lo siento, pero incluso si se prueba para un billón de momentos, dicha tabla no demuestra absolutamente nada y no aporta ninguna información sobre la probabilidad o improbabilidad de que la hipótesis de Riemann sea cierta.

Una cuestión muy interesante, que me llevaría  mucho tiempo discutir en detalle, es si se puede definir alguna probabilidad de que una conjetura sea cierta. Habría que definir alguna medida en el espacio de todas las demostraciones posibles. Hasta donde me consta nadie ha sido capaz de formalizar esta cuestión. Así que un matemático nunca puede hablar de la «probabilidad de la certeza de una conjetura»; los físicos tampoco deberían hacerlo (pero parece que Mussardo y LeClair son una excepción).

Y, por cierto, ¿qué es la función de Mertens y comó está relacionada con la conjetura? La función Mertens es M(x)=\sum_{n=1}^x \mu(k), donde \mu(n) es el coeficiente de Möbius del número entero n, es decir, el coeficiente de la serie 1/\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(n)/n^s, donde \zeta(s) es la función zeta de Riemann. Un resultado bien conocido es que la hipótesis de Riemann es cierta si se cumple que el comportamiento asintótico de la función de Mertens es M(x) \sim x^{1/2 + \epsilon}, donde \epsilon es un número positivo arbitrario.

La conjetura de Mertens (que es falsa) afirma que |M(x)| < x^{1/2}; fue propuesta por Franz Mertens en un artículo de 1897 tras un estudio computacional (realizado a mano en aquella época); si esta conjetura fuera cierta implicaría la hipótesis de Riemann. Una versión modificada de esta conjetura (que no se sabe si es falsa) afirma que |M(x)|/x^{1/2} está acotada, lo que también implica la hipótesis de Riemann; fue propuesta por Thomas Joannes Stieltjes en una carta de 1885 para Charles Hermite (Stieltjes la publicó en 1905); Hermite presentó en la Academia de Ciencias de Francia la «demostración» de Stieljes como prueba de la hipótesis de Riemann; muchos matemáticos tuvieron dudas sobre su «demostración», por lo que recibió poca atención.

Las primeras dudas serias sobre la validez de la conjetura de Mertens surgieron en 1942 con un trabajo de Albert Ingham; en 1960 Wolgang Jurkat demostró que es falso que |M(x)| < x^{1/2}/2; estudios computacionales posteriores (ya usando ordenadores) reafirmaron la idea de que debía existir un contraejemplo. Andrew M. Odlyzko y Herman J. J. te Riele demostraron en 1985 gracias a un estudio computacional que la conjetura de Mertens es falsa, en concreto, \limsup\limits_{x\rightarrow\infty} M(x)/x^{1/2}>1.06 (y además \limsup\limits_{x\rightarrow\infty} M(x)/x^{1/2}<-1.009). Desde entonces se han publicado otras demostraciones similares. Más detalles de esta historia en A.M. Odlyzko, H.J.J. te Riele, «Disproof of the Mertens conjecture,» Journal für die reine und angewandte Mathematik 357: 138-160 (1985), doi: https://doi.org/10.1515/crll.1985.357.138.

Lo más curioso de todo esto es que aún no se ha encontrado ningún contraejemplo de la conjetura de Mertens. Obviamente, tiene que existir, pero solo se sabe que cumple x < 10^{6.91\times 10^{39}}; este resultado es un buen ejemplo de que las «demostraciones computacionales» no son demostraciones.



21 Comentarios

  1. Muchas, pero muchas gracias por este post. Es una bendición que existas para poder aclarar este tipo de situaciones, por lo demás muy frustrantes. Un saludo

  2. Estoy de acuerdo con lo que dices. Estrictamente hablando no se demuestra nada, pero si creo que, por lo que dices, podemos aumentar la confianza en que la hipótesis sea cierta. Es muy interesante las reflexiones sobre pensamiento plausible que hacía Polya a este respecto.
    Es larga, pero esta clase es muy interesante.
    https://youtu.be/h0gbw-Ur_do

    1. Carlos, la mayoría de los matemáticos opina que la hipótesis de Riemann es cierta porque, además de ser muy razonable, hay un enorme número de resultados matemáticos que son consecuencia de su validez que también son muy razonables. Pero en matemáticas no existen las opiniones, solo las demostraciones.

        1. Perdona, Juan Luis, pero no es cierto que Tao y Rodgers opinen que pueda ser falsa; de hecho, Tao lo ha dicho en muchas veces en su blog, en su opinión es cierta; no sé si es la intención del autor de la pieza que citas sugerir lo que tú comentas.

          La hipótesis de Riemann implica la constante de Bruijn-Newman no es positiva (Λ ≤ 0) y se sabía que si era negativa su valor tenía que ser muy pequeño (-0.000 000 000 012 < Λ ≤ 0); la opinión de la mayoría de los matemáticos era que su valor era cero (Λ = 0). El trabajo de Tao y Rodgers probó que dicha constante no es negativa (Λ ≥ 0), apoyando la opinión de la mayoría de los matemáticos, que su valor era cero (Λ = 0). Dicho resultado incentivó la búsqueda de la mejor cota positiva; el proyecto Polymath15 concluyó con Λ ≤ 0.22 (y con indicios numéricos que apuntan a Λ ≤ 0.1, pero sin demostración matemática rigurosa). Punto.

          En ningún momento el trabajo de Tao y Rodgers, o el proyecto Polymath15, apuntan a que la hipótesis de Riemann pueda ser falsa. Y quien lo afirme no entiende dichos resultados. Por cierto, en este blog puedes leer "El proyecto Polymath15 logra reducir la cota superior de la constante de Bruijn-Newman", LCMF, 26 may 2018.

  3. Gracias por el artículo.
    (Me parece que la definición que dan en Wikipedia de la conjetura de Mertens no es exactamente la de la entrada. ¿Sería posible dar un contraejemplo “finito” si se utiliza ~?)

    1. Jus, gracias, cambio la definición para que sea la misma que la wikipedia (he copiado la definición con ~ de un artículo y era más o menos lo que recordaba, pero quizás tenía que haber consultado otras fuentes para asegurarme). En cuanto a lo del contraejemplo, depende de la definición precisa del ~, que requiere especificar el comportamiento asintótico. Cambio la pieza para no generar más confusión a los lectores.

  4. Francis, si los matematicos dan por cierta la hipotesis, que es lo que permitiria su demostracion? la demostracion en si misma abriria o econtraria cosas interesantes o nuevos campos de matematica? no entiendo cual es lo importante de la demostracion (mas alla de la hipotesis en si)

    1. Buenas estimado Francis. Me gustaría me aclararas una duda, en este tema de los números primos. Se que Goldbach, si mal no recuerdo, demostró, de una manera sencilla por cierto, que no existe una fórmula algebraica que al reemplazar x por ejemplo me devuelva un primo como respuesta, que funcione con todos los primos. Otro matemático, se me escapa el nombre ahora, demostró que no existe ninguna función racional que haga lo mismo. Así que buscar la dichosa fórmula es infructuoso. Mi pregunta es si entonces sería posible matemáticas una fórmula de los números primos que sea una función trascendente, que contenga logaritmos, exponenciales, o cualquier otra función? Porque he visto que desde Gauss y matemáticos actuales como Terry Tao han hecho aproximaciones a la distribución de los primos usando logaritmos de los logaritmos. Agradezco tu respuesta

      1. La obsesión con las fórmulas ya es algo obsoleto en matemáticas. Hoy en día podemos escribir cualquier algoritmo en forma de una fórmula (hay infinitas maneras de hacerlo). Así, podemos escribir una fórmula con la criba de Eratóstenes que calcula todos y cada uno de los primos (esto es algo conocido desde hace más de 50 años). Claro, no es un cociente de polinomios, o una función transcendente elemental, pero ¿y qué importa?

        Lo que queremos conocer son las propiedades de la distribución de los números y en ello están trabajando muchos matemáticos. Gracias a ello se espera poder resolver muchos problemas en teoría de números.

      2. Sí que existen fórmulas que permiten generar todos los primos. Pero, aunque sean bonitas, hay que reconocer que no tienen utilidad práctica. Puede ocurrir que la fórmula sea un algoritmo escondido (como dice Francis en su respuesta) o que la fórmula dependa de algo en cuya definición se han usado todos los primos.

        Casualmente, justo hoy ha salido un artículito mío sobre el tema en la Amer. Math. Monthly (A Couple of Transcendental Prime-Representing Constants). Pongo el enlace por si a alguien se interesa:
        https://www.tandfonline.com/eprint/QTZZXJQUCGVPMCAQARTA/full?target=10.1080/00029890.2021.1977885

    2. Mariana:

      La hipótesis de Riemann es probablemente el problema más importante de las matemáticas. Su demostración necesariamente requiere la creación de nuevas, profundas y revolucionarias ideas matemáticas.

      Recomiendo la lectura «An essay on the Riemann Hypothesis» https://arxiv.org/abs/1509.05576 para obtener una idea general de la clase de progreso que se espera obtener tras la resolución de la hipótesis. Uno de los aspectos más interesantes (y poco divulgados, quizá) es la expectativa de un refinamiento del concepto mismo de «Geometría» ; uno de los «sueños matemáticos incumplidos» de Grothendieck era encontrar el nivel semántico correcto para demostrar la hipótesis de Riemann usando ideas parecidas a las usadas para demostrar la afirmación análoga en característica p>0.

      Referencias:

      A MAD DAY’S WORK: FROM GROTHENDIECK TO CONNES AND KONTSEVICH
      :THE EVOLUTION OF CONCEPTS OF SPACE AND SYMMETRY https://www.ams.org/journals/bull/2001-38-04/S0273-0979-01-00913-2/S0273-0979-01-00913-2.pdf

      F1 for everyone https://arxiv.org/abs/1801.05337

    3. Mariana, para un matemático la duda permanece mientras no haya una demostración; no basta que se dé por cierta. ¿Qué es lo que aprenderemos de la demostración de la hipótesis de Riemann? Las demostraciones difíciles requieren la creación de nuevas herramientas matemáticas que suelen ser muy útiles para resolver muchos otros problemas.

      No puede concretar más porque todo depende de la técnica usad. Hay muchas conjeturas cuya demostración implica la hipótesis de Riemann que se enmarcan en muchas áreas diferentes de la matemática; si se demuestra uno de estas conjeturas con ciertas herramientas de su área matemática puede que no se aporte nada a la demostración de las otras conjeturas, aunque también impliquen la hipótesis de Riemann.

      ¿Qué nos gustaría aprender de la demostración de la hipótesis de Riemann? Supongo que cada matemático contestará algo diferente. En mi caso, me gustaría que la demostración nos permitiera caracterizar el paisaje de la función de Riemann en el entorno de la línea crítica. Si así fuera, me gustaría que las nuevas herramientas desarrolladas para la prueba pudieran caracterizar el comportamiento de las funciones meromorfas en el plano complejo que se obtienen por continuación analítica de funciones que están definidas en un semiplano (la función zeta de Riemann se define para Re(s) > 1 y debe ser coninuada analíticamente para obtener sus valores en la línea crítica Re(s)=1/2). En dicho caso, la demostración revolucionaría el análisis en variable compleja y con él a toda la matemática aplicada. Un sueño, lo sé.

  5. Hola Francis. Leo tus entradas, aunque en muchas no tenga formación suficiente para entender. Parece que este caso es algo puramente de teoría matemática. Pero me gustaría saber por qué es importante o cuales serían las aplicaciones prácticas de la confirmación (o no) de la hipótesis.
    Muchas gracias, seguiré leyéndote e intentando aprender.
    Un saludo.

    1. Efemepe, a priori, ninguna aplicación práctica. Obviamente, la demostración es posible que se base en nuevas herramientas que puedan tener una aplicación práctica potencial; pero, como tal, la hipótesis de Riemann no tiene ninguna aplicación práctica. Las matemáticas puras no se hacen por sus aplicaciones prácticas, si no por la dificultad y belleza de sus resultados.

  6. Saludos Francis, ¿ la hipótesis puede ser un problema indemostrable o por necesidad debe existir una respuesta ya sea positiva o negativa ?

    Siempre entendí (de manera análoga) que un problema indemostrable es como un número que no puede ser construido en una cantidad finita de pasos ni deacuerdo a las leyes de aritmética,
    pero esto no implica que no exista tal número, solo que no puedo construirlo.

    ¿ Puede darse el mismo caso para la hipótesis y que aún pudiendo ser un problema indemostrable exista una única respuesta correcta ?

    1. Javi, el polinomio de Jones-Sato-Wada-Wiens (que recorre todos los números primos) permite construir un algoritmo que decide si la hipótesis de Riemann es cierta o no (por tanto, dicha hipótesis es algorítmicamente decidible); por desgracia no se puede obtener una demostración usando dicho hecho.

      Se sabe que si la hipótesis de Riemann es falsa, tiene que existir una demostración de su falsedad (basada en el argumento anterior) en la axiomática para la teoría de conjuntos de Zermelo y Fraenkel (ZFC). Sin embargo, no se sabe si existe una demostración en ZFC si la hipótesis de Riemann es verdadera. Que yo sepa hay muy pocos matemáticos que crean que no existe dicha demostración; obviamente, no lo sabemos. Pero en los resultados matemáticos que son independientes de ZFC siempre hay indicios matemáticos que apuntan hacia ello y para la hipótesis de Riemann no hay ninguno (que me conste).

  7. ¿Ese es el problema fundamental de las demostraciones no?,
    el axioma de extensionalidad (el cual es independendiente a ZF, pero se incluye).

    Podemos «demostrar» que a=b conteniendo los mismos elementos para conjuntos finitos al poder «contar» la cantidad de elementos exactos de los conjuntos a y b, expresada dicha cantidad en el cardinal,
    algo que no sucede en conjuntos infinitos.

    Aún pudiendo ordenar conjuntos infinitos numerables de menor a mayor no quiere decir que estemos contando la cantidad de elementos. Para estrictamente contar la cantidad de elementos de un conjunto infinito tendríamos que ordenar de menor a mayor infinitos conjuntos infinitos (numerables) llegando al punto donde el conjunto que queremos «contar» debamos situarlo entre 2 conjuntos absolutamente próximos entre si.

    «este conjunto infinito es menor y mayor que los conjuntos infinitos próximos por la diferencia de 1 única unidad»

    La solución no puede ser simplemente aceptar una respuesta y construir conjuntos en base a la respuesta aceptada, más bién es lo que has comentado en mensajes anteriores, encontrar el método para demostrar en todo caso si a y b son iguales o no, eso es lo interesante.

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