La conjetura de Langlands geométrica (GLC) está descrita para un público general en el libro «Amor y matemáticas» de Edward Frenkel (LCMF, 18 jul 2015). Esta autobiografía científica de Frenkel nos presenta el estado de la conjetura en el año 2009, cuando era una propuesta informal de Beilinson y Drinfeld. Una formulación rigurosa de la conjetura fue obtenida por Dima Arinkin y Dennis Gaitsgory (2015), quienes publican ahora su demostración en 2024, junto a Sam Raskin, Nick Rozenblyum y varios colegas más jóvenes. Un trabajo monumental en cinco artículos, dos publicados en arXiv y tres aún en forma de primer borrador. En el primer artículo se define el llamado funtor geométrico de Langlands y en el último se demuestra que es una equivalencia (los otros tres artículos presentan resultados intermedios). Un resultado muy técnico, con los grandes expertos en este área como coautores. La revisión por pares no será sencilla, pero no se emprenderá hasta que haya una versión final de los cinco artículos. A pesar de ello algunos medios se han hecho eco de este resultado; en las entrevistas a Frenkel opina que esta demostración promete ser el gran resultado matemático del año.

Según el libro de Frenkel, el programa de Langlands es la teoría de la gran unificación de las Matemáticas. En ese vasto programa, la conjetura de Langlands geométrica es el vértice del prisma completo en el que más se ha avanzado y el que parecía más fácil de lograr. Por desgracia, el lado geométrico del programa de Langlands contiene muchas conjeturas que aún siguen abiertas y para las que la nueva demostración no parece aportar ningún avance. Arinkin, Gaitsgory y sus colegas han demostrado su propia versión de la GLC tras una década de trabajo. Por ello, su demostración no está rodeada de una gran sorpresa; cuando sus autores son quienes la formularon y quienes todo el mundo esperaba que lo lograsen. Para los físicos, lo más relevante es que esta demostración podría servir de inspiración para una futura demostración de la conjetura de Langlands cuántica (que se basa en el trabajo de Frenkel con Edward Witten en 2007). Esta última nació de resultados de la teoría de cuerdas, pero nadie sabe si tendrá impacto en una futura formulación de la teoría M o en teoría cuántica de campos.

Evaluar ahora mismo si la demostración es correcta raya lo imposible. Sin embargo, muchos expertos creen que acabará siéndolo (si hubiera algún error, parece que se sería fácil de resolver). Sin embargo, su impacto en el programa de Langlands creo que será muy limitado; todo apunta a que quedan muchas décadas para que se logre la ansiada piedra Rosetta de las matemáticas que soñó André Weil y que nació con la carta que le envió Robert Langlands en 1967. La nueva demostración se ha publicado en cinco artículos: Dennis Gaitsgory, Sam Raskin, «Proof of the geometric Langlands conjecture I: construction of the functor,» arXiv:2405.03599 [math.AG] (06 May 2024), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2405.03599; D. Arinkin, D. Beraldo, …, N. Rozenblyum, «Proof of the geometric Langlands conjecture II: Kac-Moody localization and the FLE,» arXiv:2405.03648 [math.AG] (06 May 2024), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2405.03648; Lin Chen, Dennis Gaitsgory, Sam Raskin, «Proof of the geometric Langlands conjecture III: Equivalence on the Eisenstein Part,» first draft (04 Oct 2024) [PDF]; D. Arinkin, D. Beraldo, …, N. Rozenblyum, «Proof of the geometric Langlands conjecture IV: Ambidexterity,» first draft (20 Feb 2024) [PDF]; Dennis Gaitsgory, Sam Raskin, «Proof of the geometric Langlands conjecture V: The multiciplicity one theorem,» first draft (06 Feb 2024) [PDF]. A nivel divulgativo recomiendo Alex Wilkins, «Incredible maths proof is so complex that almost no one can explain it. Mathematicians are celebrating a 1000-page proof of the geometric Langlands conjecture,» New Scientist, 20 May 2024 [PDF].

La imagen que abre esta pieza es de la representación en el Teatro Berkeley de la obra Ritos de amor y matemáticas con guion de Frenkel (tomada de su libro «Amor y matemáticas»). Una obra que reflexiona sobre el aspecto moral del conocimiento matemático. La «fórmula del amor» caligrafiada sobre el cuerpo de la actriz no tiene nada que ver con la conjetura geométrica de Langlands. Aparece en un artículo de Frenkel, Losev y Nekrasov de 2006 sobre instantones en teoría cuántica de campos. Pero esa escena representa la pasión que hay en la investigación matemática y me ha gustado para encabezar esta breve pieza.

Divulgar el contenido de la conjetura de Langland geométrica es difícil, pues requiere una gran cantidad de jerga matemática. Quizás, la mejor presentación divulgativa está en el libro de Frenkel, que te recomiendo de forma encarecida. Permíteme un resumen en unos poco párrafos (de lo que puedes leer en el libro en unas doscientas páginas). Quizás no entiendas nada, pero me lo han pedido en los comentarios.

La teoría de la gran unificación propugnada por el programa de Langlands se basa en las simetrías, es decir, en la teoría de grupos. La conexión con la teoría de números parte de la teoría de Galois para determinar si un polinomio tiene raíces expresables con fórmulas en términos de radicales. La idea es que las raíces forman un cuerpo que tiene asociado un grupo de simetrías para las permutaciones de las raíces. Si este grupo de Galois se puede descomponer en grupos abelianos se dice que es resoluble; solo en dicho caso las raíces del polinomio se pueden expresar en términos de radicales. Langlands propuso en 1967 conectar la teoría de números (las representaciones de los grupos de Galois) con el análisis armónico (las funciones automorfas). El famosa anécdota que rodea esta propuesta es la carta que le envió a André Weil con sus ideas, para solicitarle su opinión sobre su propuesta de organizar la teoría de números en base a la relación entre la simetría y la armonía (si quieres leer la carta [PDF]).

El programa de Langlands pretende generalizar resultados como la conjetura de Shimura–Taniyama–Weil, que afirma que el número de soluciones módulo un número primo de una ecuación diofántica cúbica viene determinado por los coeficientes de una forma modular asociada a dicha ecuación. Para tener una idea basta poner un ejemplo, la ecuación cúbica y² + y = x³ − x² (Eichler, 1954). Sus soluciones módulo 5 son fáciles de calcular, basta tantear las 25 posibilidades (x = 0, y = 0; x = 0, y = 4; x = 1, y = 0; x = 1, y =4). En general, se pretende estudiar, para cada número primo p, el número p − a_p de soluciones módulo p de dicha ecuación diofántica (a_p es un número entero, positivo o negativo, menor que p). Para hacerlo se recurre a una forma modular, que actúa como función generadora P(q) de dicha ecuación. Esta función cumple que su desarrollo de Taylor P(q) = b₁ q + b₂ q² + b₃ q³ + ⋯, es tal que a_p = b_p, para p primo puede ser positivo. Por ejemplo, la función generadora (descubierta por Eichler en 1954) es P(q) = q (1 − q)²(1 − q¹¹)² (1 − q)² (1 − q²)² (1 − q²²)² ⋯ = q − 2 q² − q³ + 2 q⁴ + ⋯, con lo que a₂ = b₂ = −2, a₃ = b₃ = −1, a₅ = b₅ = 1, …, con lo que, por ejemplo, dicha ecuación tiene 4 soluciones módulo 5 (ya que a₅ = 5 − 4 = 1). La conjetura de Shimura–Taniyama–Weil (que usó Wiles para demostrar el último teorema de Fermat) generaliza esta propiedad a todas las ecuaciones cúbicas. La idea de Langlands es generalizar esta conjetura; en lugar de las ecuaciones cúbicas se usan las representaciones bidimensionales del grupo de Galois asociado a cada ecuación diofántica en teoría de números; y en lugar de formas modulares se recurre a las funciones automorfas del análisis armónico (una generación de las funciones trigonométricas que están en la base del análisis de Fourier).

La conjetura de Langlands geométrica relaciona la teoría de números con la geometría de las superficies de Riemann gracias a las curvas sobre cuerpos finitos. Cuando en la ecuación diofántica se sustituyen x e y por números en un cuerpo finito módulo p, o sea, por los números {0, 1, 2, …, p − 2, p − 1}, se obtiene una curva sobre un cuerpo finito (no es una curva continua, pero ese es su nombre). Estas curvas permiten conectar las representaciones bidimensionales del grupo de Galois de una ecuación diofántica (la teoría de números) con el grupo fundamental de una superficie de Riemann (que describe sus invariantes topológicos, como su número de agujeros). La formulación moderna del programa de Langlands geométrico es de Drinfeld (década de 1980), que concibió los análogos a las funciones automorfas en el contexto de las superficies de Riemann que las conectan con las curvas sobre cuerpos finitos (Drinfeld recibió la medalla Fields en 1990). En cierto sentido, el grupo fundamental es el análogo del grupo de Galois y los haces (sheafs) automorfos son los análogos a las funciones automorfas.

El grupo de isometrías de una variedad de Riemann es un grupo de Lie. Langlands asoció a cada grupo de Lie G (que también es una variedad de Riemann) un nuevo grupo de Lie llamado grupo de Langlands L_G (la L no es por Langlands, sino por funciones L de Dirichlet); por cierto, el grupo de Langlands de L_G es el grupo original G. Como ejemplo, el grupo de Lie de las rotaciones tridimensionales G = SO(3) tiene como grupo de Langlands a su recubrimiento doble L_G = SU(2). Un haz asocia a cada punto de una variedad riemanniana X un espacio vectorial; para puntos diferentes, dichos espacios vectoriales pueden tener dimensiones diferentes. Se pueden definir haces automorfos en analogía con las funciones automorfas. Los haces automorfos forman el espacio de móduli de G-fibrados sobre la variedad X. Drinfeld observó que se pueden asociar las representaciones del grupo fundamental de una variedad X en el grupo de Lie L_G con los haces automorfos en el espacio de móduli de G-fibrados sobre la variedad X.

Como es obvio, explicar en detalle toda esta jerga matemática usando ejemplos sencillos requiere decenas de páginas. Además, he omitido hablar de teoría de categorías, formadas por objetos (como espacios vectoriales) y morfismos (como las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales), y de funtores entre categorías, que asocian a cada objeto de una categoría un objeto de otra, y lo mismo para los morfismos. La idea de Drinfeld fue formalizada por Beilinson y Drinfeld usando las representaciones del álgebra de Kac–Moody de G (en las que trabajó Frenkel durante su tesis doctoral) y ciertas ecuaciones diferenciales (llamadas oper) asociadas a la variedad de Riemann. La nueva demostración (objeto de esta pieza) prueba la formalización de Beilinson y Drinfeld de la conjetura de Langlands geométrica. Pero hay que recordar que esta no es la única formalización conocida de la  conjetura de Langlands geométrica (hay como una decena), que de forma general relaciona las curvas sobre cuerpos finitos y las superficies de Riemann. Como he comentado más arriba, la nueva demostración es un gran paso, pero que hay colocar en su contexto (quizás más limitado de lo que le gustaría a sus autores).

Y para acabar, la conjetura de Langlands cuántica se centra en relacionar estas ideas con los grupos cuánticos (Drinfeld es uno de los padres de la teoría general de los grupos cuánticos). Hay varias formulaciones (aún en fase emergente) de la conjetura en el contexto de la teoría cuántica de campos, la teoría de cuerdas (donde las superficies de Riemann juegan un rol fundamental) y la dualidad AdS/CFT de Maldacena. Todas ellas alrededor de las representaciones de álgebras de Lie (el concepto matemático fundamental en teoría de campos).