III Carnaval de Matemáticas: Toda la verdad sobre la anécdota de Gauss, el niño prodigio, su profesor y la suma de 1 a 100

El profesor J. B. Büttner impone la suma de 1 a 100 al joven Carl Friedrich Gauss. (C) Theoni Pappas, 1993.

J. B. Büttner, maestro de un colegio alemán, castigó a todos los niños a sumar los 100 primeros números naturales para tenerlos entretenidos y callados un buen rato. Carl Friedrich Gauss obtuvo la respuesta casi de inmediato: 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 5050.” Una historia mil veces contada. Todos los profesores de primaria y secundaria se la cuentan a sus alumnos. ¿Ocurrió de verdad? ¿Hay alguna evidencia histórica? Sigue la historia contando que “Gauss, el niño prodigio, se dio cuenta de que 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc., todos suman 101, y que hay 50 de estos pares, resultando 50 × 101 = 5050. La fórmula más general para la suma aritmética de 1 al n es n(n+1)/2.” ¿Cómo verificó el profesor la respuesta de Gauss? ¿Conocía el maestro de escuela la fórmula para sumar una serie aritmética? ¿El maestro sumó uno a uno los números del 1 al 100 alguna vez en su vida? ¿Esta historia pertenece al mismo género que la historia de Newton y la manzana, o de Arquímedes y la bañera? Nos cuenta todo lo que se sabe de verdad (históricamente) sobre esta historia Brian Hayes, “Gauss’s Day of Reckoning. A famous story about the boy wonder of mathematics has taken on a life of its own,” American Scientitst, 94: 200, May-June 2006 (web y pdf).

Antes de nada quisiera recordar que hoy, Día del Niño, es el ideal para esta entrada. Además, muchos ya sabéis que el blog Gaussianos arrancó el 26 de julio de 2006 con esta historia. Una de las muchas anécdotas asociadas a la infancia del Príncipe de las Matemáticas (ya meneada). Esta entrada también viene a las mil maravillas para la III Edición del Carnaval de Matemáticas organizado en esta ocasión por Rafael Miranda Molina en su blog GeometriaDinamica.cl. Vayamos pues al grano.

Brian ha recopilado 109 versiones de la anécdota de Gauss publicadas en libros, desde historias y biografías académicas a libros de texto y enciclopedias, literatura infantil, sitios web, trabajos de estudiantes, grupos de noticias Usenet, e incluso una novela. Todas las narraciones describen el mismo incidente y todas derivan de la misma fuente, aunque unas lo describen de una forma y otras de otra forma completamente distinta (resumen en forma de tabla). Un libro conmemorativo sobre la vida de Gauss (“Gauss zum Gedächtnis“) que se publicó en 1856, justo un año después de la muerte de Gauss, cuyo autor fue Wolfgang Sartorius, el barón von Waltershausen, profesor de mineralogía y geología en la Universidad de Göttingen, donde Gauss desarrolló su carrera académica.

La elegía a Gauss de Sartorius rebosa cariño y admiración. De la infancia de Gauss, Sartorius nos relata que aprendió a leer él solo (autodidacta) y que a los tres años le corrigió un error aritmético a su padre. Gauss fue escolarizado de forma temprana en la ciudad de Braunschweig, cerca de Hanover. Sartorius nos cuenta la historia de la famosa anécdota como sigue (mi traducción al español de una traducción al inglés que utiliza Hayes del original en alemán).

En 1784, tras su séptimo cumpleaños, el pequeño entró en una escuela pública de educación primaria donde las clases las impartía un profesor llamado Büttner. La escuela estaba ubicada en una habitación sombría, de techo bajo, suelo desigual, … donde cerca de un centenar de pupilos de Büttner iban y venían. El profesor imponía una disciplina rígida y nadie podía llevarle la contraria. En esta escuela, que seguía el patrón de la Edad Media, Gauss llevaba dos años como alumno sin provocar ningún incidente reseñable.

El primer día que Gauss asistió a la clase de Aritmética, en la que había niños de hasta 15 años, ocurrió un incidente que Gauss solía contar ya anciano para el deleite de sus contertulios. Cuando el profesor proponía un problema, el alumno que acababa el primero tenía que llevar su pizarrita hasta la mesa del profesor. El segundo que lo lograra colocaba la suya encima, y así sucesivamente. El primer día que el joven Gauss entró en clase, el profesor Büttner, a viva voz, estaba dictando un problema de aritmética para sus alumnos. Justo al acabar de dictar el problema, Gauss colocó su pizarrita sobre la mesa del profesor, quien con absoluta seguridad afirmó: “Debe estar mal.” Mientras, el resto de los alumnos continuaron con su tarea (contando, multiplicando, y sumando). Büttner recorría la clase observando a sus alumnos con una mirada irónica, casi compasiva, hacia sus alumnos. Sólo un niño estaba sentado, callado, con su tarea ya finalizada, consciente de que la había resuelto correctamente y que su resultado era el único posible.

Al final de la clase, el profesor dio por acabado el examen y volvió las pizarras hacia arriba. La primera, la del joven Gauss, sólo contenía un número. Cuando Büttner lo leyó, para su sorpresa y la de todos los presentes, resultó que la respuesta del joven Gauss era correcta. Muchos de sus compañeros, sin embargo, habían obtenido una respuesta errónea.

Sartorius no nos dice que problema de aritmética era, ni hace mención a la suma aritmética de los números 1 al 100, ni al truco/fórmula que empleó Gauss para resolver el problema. Sin embargo, hay una traducción al inglés del libro de Sartorius escrita por la bisnieta de Gauss, Helen Worthington Gauss, que incluye un inciso entre corchetes que aclara el problema artimético en cuestión: “una serie de números del 1 al 100″. ¿Recordaba la nieta de Gauss el problema exacto que le relatara su bisabuelo? Obviamente, no, no le conoció personalmente. En opinión de Brian Hayes, la bisnieta de Gauss se dejó llevar por la descripción del problema por parte de escritores posteriores a Sartorius, que adornaron la anécdota con un problema concreto, como para destacar la genialidad del Príncipe de los Matemáticos.

¿Cuándo apareció por primera vez una mención a que el problema resuelto por Gauss fue la suma de 1 a 100? Sorprendentemente, la intensa búsqueda de Brian Hayes concluye que la primera aparición de ese detalle “aritmético” en la anécdota es de 1938, unos 80 años después de que Sartorius escribiera sus memorias. Aparece en una biografía de Gauss escrita por Ludwig Bieberbach (un matemático conocido como el instrumento principal de antisemitismo nazi en la comunidad matemática alemana). Bieberbach adorna su relato indicando el método de sumas de pares que suman 101 como método utilizado por Gauss. ¿Bieberbach es la fuente de esta anécdota?

En las descripciones de esta anécdota de la infancia de Gauss, cada versión aporta su propia “poesía” y “métrica.” Hay variaciones que presentan la suma de 0 a 100, o de 1 a 99, incluso de 1 a 1000. De hecho, Eric Temple Bell autor de “Men of Mathematics,” publicado por primera vez en 1937, describe la anécdota de Sartorius indicando que el problema era sumar 81297 + 81495 + 81693 + 100899 + …, donde cada número se obtiene sumando 198 al anterior, y la suma contiene 100 de estos números.

¿Qué afirman las biografías “serias” y modernas de Gauss? El historiador W.K. Bühler (1981) ni siquiera menciona la anécdota. Algo que sí hacen otros historiadores como G. Waldo Dunnington (1955), Tord Hall (1970), Karin Reich (1977) y M.B.W. Carpa (2006). Todos ellos describen la anécdota mencionando la suma de los enteros de 1 a 100, y todos describen el método de Gauss en términos de formar parejas que suman 101. Ninguno de estos autores expresa escepticismo acerca de la anécdota (a menos que el silencio de Bühler se pueda interpretar como señal de duda).

En resumen, ¿cuál es la moraleja de esta historia? Pues muy fácil, no hay evidencia histórica de que la anécdota ocurriera, salvo que Gauss afirmaba que sorprendió a su profesor de Aritmética el primer día de clase.

¡Qué bonita anécdota para iniciar un blog como Gaussianos!

Ah, por cierto, la fórmula de la suma aritmética de números enteros (1+2+3+…+n = n(n+1)/2) se conoce, como mínimo, desde el s. VIII.

22 Comentarios

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^DiAmOnD^

Hombre, nada de que se nos cae un mito. Cierto es que no hay referencias históricas concluyentes, pero no sé, yo quiero seguir pensando que la anécdota es cierta. Que esta historia no tenga problema asociado deja un regusto demasiado amargo. Y tratándose de Gauss a mí no me gustaría que fuera así.

Por cierto, sí, no se me ocurrió mejor manera de comenzar Gaussianos que esta historia de Gauss. Gracias por las menciones :).

LukasLukas

Cuando yo era pequeño… tendría unos 8 ó 9 años, una noche que no podía dormir me puse a contar del 1 al 1000: uno, dos, tres… hasta mil. No sé si esto reorganizó mis neuronas en aquel momento para ser matemáticamente más eficiente. El caso es que días o semanas o pocos meses después, otra noche que no podía dormir me puse a sumar 1+2+…+10=55. Y me di cuenta que 1+2=3, 1+2+3+4=10; llegando a la conclusión que para encontrar el resultado 1+2+3+…+n tenía que hacer n*(n/2)+(n/2) [con esa edad no sabía simplificar la fórmula]: osea, “n por su mitad más su mitad”. Lástima que ya lo descubrieron siglos antes…

g.netg.net

Creo que aunque no haya evidencia, estos mitos o historias hacen más humanas e interesantes las matemáticas! Interesante blog! Un saludo

twoem

Puede que sea cierto o puede que no, no hay referencias históricas pero la única referencia que tenemos es la de creer que eso ocurrió realmente. Es la pista mas concluyente que existe, lo que cada uno crea. Yo quiero pensar que esta anécdota es real. Muy interesante.

Un saludo.

AnnAnn

la invasion arabe de España tampoco sucedio, sin embargo es un mito historico con enorme exito y se sigue enseñando como uan relaidad historica aun hoy en dia. En la ciencia se no shan colado muchos mitos… un buen trabajo para los BuscaMitos.

AskarriAskarri

En que nos basamos para decir que la invasión arabe nunca sucedio en España??? A mi me lo enseñaron así en Historia, es más… como se entendería entonces las construcciones Mozarabes existentes en el sur de la Peninsula ???
Pregunto porque me gustaria informarme mejor si es cierto que la invasión arabe nunca sucedio…

cosas

Que buen post, tenía uno similar en la gatera como borrador de mi blog, citando el mismo artículo de BHayes. Tendré que reescribirlo, de todos modos el artículo da material para nuevos aportes al tema.

zurditorium

Gracias por escribir este post. Conocía esta historia hace tiempo pero no me la creía mucho (cuando me la contaron en la carrera me dijeron que lo mismo era un mito).

Como apunte, aunque digan que la bisnieta de Gauss no puede acordarse de la anécdota directamente de Gauss, quizá podría conocerla porque la transmitiera su padre, madre, abuelo o abuela que si la habían oído directamente.

En cualquier caso, no podremos saberlo nunca con certeza.

mangnimei7

la verdad no se si sera verdad o mentira lo de la suma de 1 100 5050 lo que si es verdad esque a portado cosas importantes alas mattematicas.chao

carlos gauss no, otrocarlos gauss no, otro

muy bueno el articulo! a mi me parece mas interesante este articulo, que la historia original!

P.D. la sucesion de numeros que suman 198 está mal xD

2588889925888899

muy bueno el bog ,pero la verdad creo queeee…………………………….gracias byeeeeeee

JJ

Es bastante habitual querer divinizar a personajes como Gauss inventando historias, y más sobre su infancia. Como suele suceder en estos casos “legendarios”, si la anécdota, apócrifa al parecer, ha llevado a alguien a interesarse por las demostraciones de Gauss de la Ley de Reciprocidad Cuadrática,p.ej., pues ya es bastante.
Desde una perspectiva docente, la anécdota en cuestión resulta interesante como acicate para que los alumnos sean creativos, más que como divinización de una figura como Gauss.

RamiroHumSahRamiroHumSah

Es verdad JJ

De hecho Gauss no necesita de la creación de leyendas a su alrededor.

Basta ver sus contribuciones, es mucho más difícil creer que un hombre logró todo lo que él que pensar en un niño encontrando la fórmula inductiva para la suma de los primeros n naturales

ArtemioArtemio

No es lo mismo divinizar que mitificar o elogiar, la divinización queda para los teólogos y los fanáticos mientras que la mitificación tiene un rasgo laico o, si se prefiere, poético. La influencia de Gauss en la matemática, topología y física llega hasta hoy, ocurre algo similar con la huella dejada en la arena de la ciencia por Euler, Poincare, Riemann y Ramanujan. Hay una anécdota sobre Ramanujan fronteriza con la divinidad, al parecer el matemático indio afirmó que se le había aparecido la diosa Namagiri para explicarle el fundamento de los cálculos más difíciles y también era devoto de la diosa Kali.

En una ocasión dijo que “una ecuación no tiene para mí ningún significado a menos que exprese un pensamiento de Dios”. Esto lo alinea con los adoradores de la matemática teísta, que, según ellos, es la matemática absoluta. El peligro que tiene esta perspectiva es que te puede situar a un paso del fanatismo. Si la idea de Dios es polifacética tiene que contener al ateísmo como un modo de amortiguar el fanatismo, aunque siendo el ateísmo el otro extremo del espectro, tiene que haber un contrapeso que nivele la adoración por el no Dios.

En mi opinión, los adoradores de Dios constituyen una secta (no necesariamente destructiva) cuyo principal objetivo, valga la redundancia, es adorarlo. Los imagino postrados ante la divinidad alabando su gloria y poder, una imagen enternecedora y emotiva pero a la que no le encuentro un paralelismo con la matemática y la física cotidianas. Es decir, los números, átomos y partículas son datos que se presentan al entendimiento con sus leyes y relaciones, es un territorio que carece de proyecciones metafísicas aunque no está exento de belleza, lógica y armonía.

A su vez, los adoradores del no Dios también constituyen en mi opinión otra secta (no necesariamente destructiva) cuyo objetivo no es adorarlo sino impugnarlo o refutarlo. Entre ambos extremos se sitúa el conocimiento humano cuyo despliegue depende de crear un espacio entre ambos polos. Por eso figuras como Gauss, Euclides y Einstein son objeto de divinización o mitificación, es una forma sutil de proyectar la inteligencia humana en el olimpo de afirmadores y negadores, una cuña escéptica entre dos visiones antagónicas.

Respecto del blog Gaussianos paso buenos ratos leyendo los artículos en los que el autor de la bitácora trata de la geometría, es una flipada ver sus dibujos con círculos, triángulos, conos, elipses, etc.

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